সুষম ইলেক্ট্রিকফিল্ডের ভেতর পরিবাহী গোলক

ধরো, পরিবাহী গোলকটি একটি সুষম ইলেক্ট্রিকফিল্ডের ভেতর রাখা আছে। আগের পরিচ্ছেদেরগুলিতে আমরা দেখেছি যে যদি গোলকটির ব্যসার্ধ \(R\) হয় এবং একটি ক্ষুদ্র চার্জ \(q\) গোলকের কেন্দ্র হতে \(z=a\) দূরত্বে রাখা হয়, তাহলে \begin{align} V(\bar{r})=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\left[\dfrac{1}{\sqrt{r^2+a^2-2ar\cos\theta}}-\dfrac{1}{\sqrt{\left(\frac{ar}{R}\right)^2+R^2-2ra\cos\theta}}\right] \end{align} এবং আরও দেখেছি যে এক্ষেত্রে Image চার্জের মান \(q^\prime=-\dfrac{Rq}{a}\) এবং দূরত্ব \(z=\dfrac{R^2}{a}\)। যেহেতু গোলকটি সুষম ইলেক্ট্রিকফিল্ডের মধ্যে রয়েছে, সুতরাং \(z=-a\) দূরত্বে আরেকটি চার্জ \(-q\) এর কথা চিন্তা করতে পারি। এবং একইভাবে সেটির জন্য \(z=-\dfrac{R^2}{a}\) অবস্থানে আরেকটি Image চার্জ \(q^{\prime\prime}=\dfrac{Rq}{a}\) এর কথা চিন্তা করলে। এবার তাহলে বিভবটি হবে- \begin{align} \Phi(r)&=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\left[\dfrac{1}{\sqrt{r^2+a^2-2ar\cos\theta}}-\dfrac{1}{\sqrt{(\frac{ar}{R})^2+R^2-2ar\cos\theta}}\right]\\ &+\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\left[-\dfrac{1}{\sqrt{r^2+a^2+2ar\cos\theta}}+\dfrac{1}{\sqrt{(\frac{ar}{R})^2+R^2+2ar\cos\theta}}\right]\\ &=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0 a}\left[\dfrac{1}{\sqrt{1+(\frac{r}{a})^2-2(\frac{r}{a})\cos\theta}}-\dfrac{1}{\sqrt{1+(\frac{r}{a})^2+R^2-2(\frac{r}{a})\cos\theta}}\right]\\ &+\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0a}\left[-\dfrac{R}{r}\dfrac{1}{\sqrt{1+(\frac{R^2}{ar})^2-2(\frac{R^2}{ra})\cos\theta}}+\dfrac{R}{r}\dfrac{1}{\sqrt{1+(\frac{R^2}{ar})^2+2(\frac{R^2}{ra})\cos\theta}}\right] \end{align} আচ্ছা, এখন যদি \(a\) এর মান বাড়াতে বাড়াতে গোলক থেকে অসীমদূরত্বে নিয়ে যাওয়া হয়, তাহলে আমরা লিখতে পারি \begin{align} \dfrac{1}{\sqrt{1+x}\approx 1-\dfrac{x}{2}} \end{align} অর্থাৎ আমাদের সমীকরণটি তখন দাঁড়ায়- \begin{align} V(\bar{r})&\approx \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0a}\left[2\dfrac{r}{a}\cos\theta-2\dfrac{R^3}{r^2a}\cos\theta\right]\\ &=\dfrac{2q}{4\pi\epsilon_0a^2}\left(r-\dfrac{R^3}{r^2}\right)\cos\theta \end{align}

Surface charge

আমরা জানি \begin{align} \sigma&=-\epsilon_0\dfrac{\partial V}{\partial r}\bigg|_{r=a}\\ &=3\epsilon_0E_0\cos\theta \end{align}

তড়িৎবল

যখন \(r\rightarrow \infty\), তখন বিভব- \begin{align} V(\bar{r})&\rightarrow \dfrac{2q}{4\pi\epsilon_0a^2}r\cos\theta\\ &=\dfrac{2q}{4\pi\epsilon_0a^2}z \end{align} এখান থেকে তড়িৎবলকে খুব সহজেই বিভব থেকে হিসেব করে ফেলা যায়- \begin{align} E_0&=-\dfrac{\partial V}{\partial z}\\ &=\dfrac{2q}{4\pi\epsilon_0a^2} \end{align}
সুষম ইলেক্ট্রিকফিল্ডের ভেতর পরিবাহী গোলক সুষম ইলেক্ট্রিকফিল্ডের ভেতর পরিবাহী গোলক Reviewed by Dayeen on জানুয়ারী ২৯, ২০২০ Rating: 5
Blogger দ্বারা পরিচালিত.