চার্জযুক্ত পরিবাহী গোলক ও চার্জকণা

আগের পরিচ্ছেদে আমরা দেখেছি যদি কোন একটা গোলক আকৃতির পরিবাহী বস্তু ভূমির সাথে যুক্ত থাকে সেক্ষেত্রে কিভাবে বিভব হিসেব করতে হয়। এই পরিচ্ছেদে একটু ভিন্ন একটা সিস্টেমের জন্য বিভব নির্ণয় করবো। আগের মতই একটি চার্জ \(q\) গোলকের কেন্দ্র থেকে \(y\) দূরত্বে রাখা আছে, কিন্তু এখন গোলকের নিজস্ব একটা চার্জ রয়েছে, সেটা হলো \(Q\)। এরকম সমস্যার জন্য আমরা superposition principle ব্যবহার করে খুব সহজেই সমাধান করতে পারবো। আগের মতই \(q\) চার্জের প্রতিচ্ছবি হিসাবে একটি কাল্পনিক চার্জ \(q^prime\) কে গোলকের ভেতর কেন্দ্র থেকে \(y^\prime\) দূরত্বে রয়েছে। তাহলে গোলকের মোট চার্জ হবে \(Q-q^\prime\) এবং এটি গোলকের উপরিতলে সুষমভাবে বিস্তৃত রয়েছে।

আগের পরিচ্ছেদের মত একইভাবে হিসেব করলে আমরা পাবো - \begin{align} Q-q^\prime=Q+\dfrac{qa}{y} \end{align} এবং এক্ষেত্রে বিভবের মান হবে- \begin{align} \Phi(x)&= \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\dfrac{q}{|\bar{x}-\bar{y}|}-\dfrac{q}{\frac{y}{a}\bar{x}-\frac{a}{y}\bar{y}}+\dfrac{Q+\frac{a}{y}q}{|\bar{x}|}\right] \end{align} Spherical কো-অর্ডিনেটে তাহলে এই বিভবকে লেখা যায়- \begin{align} \Phi(r)=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\left[\dfrac{1}{\sqrt{r^2+y^2-2ry\cos\theta}}-\dfrac{1}{\sqrt{\frac{y^2}{a^2}r^2+a^2-2ry\cos\theta}}+\dfrac{\frac{Q}{q}+\frac{a}{y}}{r}\right] \end{align}

Surface charge

আমরা জানি \begin{align} \sigma=-\epsilon_0\dfrac{\partial \Phi}{\partial r}\bigg|_{r=a} \end{align} সুতরাং উপরের সমীকরণ থেকে \(\Phi\) এর মান বসিয়ে পাচ্ছি- \begin{align} \sigma=-\dfrac{q}{4\pi a^2}\left(\dfrac{a}{y}\right)\dfrac{1-\frac{a^2}{y^2}}{\left(1+\frac{a^2}{y^2}-\frac{2a}{y}\cos\theta\right)^{3/2}}+\dfrac{1}{4\pi a^2}\left[Q+\dfrac{a}{y}q\right] \end{align} একটা মজার বিষয় লক্ষ্য করো, \(\sigma\) এর এই মানকে যদি আগের পরিচ্ছেদের ফলাফলের সাথে তুলনা করি, তাহলে দেখা যাবে নতুন ফলাফলে শুধুমাত্র একটি নতুন পদযুক্ত হয়েছে। যেহেতু আমাদের গোলকটির নিজস্ব চার্জ ছিলো, সেটার জন্যই এই নতুন পদটি এসেছে। \begin{align} \sigma=\sigma_{induced}+\dfrac{Q-q^\prime}{A_{sphere}} \end{align}

তড়িৎ বল

একইভাবে তড়িৎবল হিসেব করার জন্যও আমরা superposition principle ব্যবহার করতে পারি- \begin{align} \bar{F} &=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\sum_i q_i \dfrac{(\bar{x}-\bar{x}_i)}{|\bar{x}-\bar{x}_i|^3}\\ \bar{F} &=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\left[ q^\prime \dfrac{(\bar{y}-\bar{y}^\prime)}{|\bar{y}-\bar{y}^\prime|^3}+(Q-q^\prime)\dfrac{\bar{y}}{|\bar{y}|^3}\right]\\ \bar{F}&=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q}{y^2}\left[Q-\dfrac{qa^3 (2y^2-a^2)}{y(y^2-a^2)}\right]\hat{y} \end{align}
চার্জযুক্ত পরিবাহী গোলক ও চার্জকণা চার্জযুক্ত পরিবাহী গোলক ও চার্জকণা Reviewed by Dayeen on জানুয়ারী ২৯, ২০২০ Rating: 5
Blogger দ্বারা পরিচালিত.