পরিবাহী গোলক ও চার্জকণা

মনেকরো, তোমার কাছে একটি পরিবাহী গোলক আছে। গোলকের কেন্দ্রটি অক্ষরেখার কেন্দ্রবিন্দুতে অবস্থিত। কেন্দ্র হতে \(y\) দূরত্বে একটা চার্জ \(q\) রয়েছে। গোলকের বাইরে কোন একটা বিন্দু \(P\) তে বিভবের মান বের করতে চাচ্ছো। ধরো, কেন্দ্র হতে \(P\) বিন্দুর দূরত্ব \(x\)। এবং গোলকটি ভূমির সাথে যুক্ত করা, অর্থাৎ এর উপরিতলে বিভবের মান শূন্য। এখন \(q\) চার্জের একটি প্রতিচ্ছবি \(q^\prime\) কে গোলকের মধ্যে স্থাপন করলাম। মনেকরো, কেন্দ্র থেকে \(q^\prime\) এর দূরত্ব \(y^\prime\)। কুলম্বের সূত্র ব্যবহার করে এখন লেখা যায়- \begin{align} \Phi &=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{q}{|\bar{x}-\bar{y}|}+\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{q^\prime}{|\bar{x}-\bar{y}^\prime|} \end{align} মনেকরো, \(\bar{x}\) এবং \(\bar{y}\) ভেক্টর দুইটির মান যথাক্রমে \(x\) এবং \(y\)। তাহলে \begin{align} \bar{x} &=x\hat{x}\\ \bar{y} &=y\hat{y} \end{align} তাহলে আমাদের সমীকরণটি দাড়াচ্ছে- \begin{align} \Phi(x) &=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{q}{|x\hat{x}-y\hat{y}|}+\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{q^\prime}{|x\hat{x}-y^\prime\hat{y}|} \end{align} Boundary condition অনুযায়ী গোলকের উপরিতলে (অর্থাৎ যখন \(x=a\)) বিভবের মান শূন্য (\(\Phi(x=a)=0\))। তাহলে- \begin{align} \Phi(x=a) &=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{q}{|a\hat{x}-y\hat{y}|}+\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{q^\prime}{|a\hat{x}-y^\prime\hat{y}|}\\ \Rightarrow 0 &=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{q}{|a\hat{x}-y\hat{y}|}+\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{q^\prime}{|a\hat{x}-y^\prime\hat{y}|}\\ \end{align} অর্থাৎ \begin{align} \Rightarrow \dfrac{q}{|a\hat{x}-y\hat{y}|}&=-\dfrac{q^\prime}{|a\hat{x}-y^\prime\hat{y}|} \end{align} প্রথম অবস্থানঃ এখন \(\bar{x}\) এর দিক যেদিকেই হোকনা কেন, উপরের সমীকরনটি অবশ্যই মেনে চলবে।

প্রথমে মনেকরো, \(\bar{x}\) কে আমরা \(\bar{y}\) এর দিকে নিলাম, অর্থাৎ \(\hat{x}=\hat{y}\)। তাহলে- \begin{align} \dfrac{q}{|a\hat{y}-y\hat{y}|}&=-\dfrac{q^\prime}{|a\hat{y}-y^\prime\hat{y}|}\\ \Rightarrow \dfrac{q}{|a-y|\hat{y}}&=-\dfrac{q^\prime}{|a-y^\prime|\hat{y}}\\ \Rightarrow -\dfrac{q}{y-a}&=\dfrac{q^\prime}{a-y^\prime} \end{align}

দ্বিতীয় অবস্থানঃ \(\bar{x}\) কে আমরা \(\bar{y}\) এর লম্ব বরাবর নিলাম, অর্থাৎ \(\hat{x} \perp\hat{y}\)। একই সাথে আরেকটা করবো। এদের অবস্থানের মান বের করবো। আমরা জানি \(|\bar{r}_1-\bar{r}_2|=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2\bar{r}_1\bar{r}_2}\)। সুতরাং \begin{align} |a\hat{x}-y\hat{y}|&=\sqrt{a^2+y^2-2ay\hat{x}.\hat{y}}\\ &=\sqrt{a^2+y^2} \end{align} যেহেতু \(\hat{x} \perp\hat{y}\) সুতরাং স্কেলার গুননের নিয়ম অনুযায়ী \(\hat{x}.\hat{y}=0\)। এবার উপরের সমীকরণ থেকে পাই- \begin{align} \dfrac{q}{|a\hat{x}-y\hat{y}|}&=-\dfrac{q^\prime}{|a\hat{x}-y^\prime\hat{y}|}\\ \dfrac{q}{\sqrt{a^2+y^2}}&=-\dfrac{q^\prime}{\sqrt{a^2+{y^\prime}^2}}\\ \dfrac{q^2}{a^2+y^2}&=\dfrac{{q^\prime}^2}{a^2+{y^\prime}^2} \end{align} এখন আমাদের কাছে দুইটি সমীকরণ আছে, এবং দুইটি অজানা রাশি \(q^\prime\) এবং \(y^\prime\) রয়েছে। প্রথম সমীকরণ থেকে পাই- \begin{align} q^\prime=\dfrac{q(y^\prime - a)}{y-a} \end{align} দ্বিতীয় সমীকরণে মান বসিয়ে পাই- \begin{align} \dfrac{q^2}{a^2+y^2}&=\dfrac{\left( \dfrac{q(y^\prime - a)}{y-a}\right)^2}{a^2+{y^\prime}^2} \end{align} সুতরাং \begin{align} y^\prime = \dfrac{a^2}{y} \end{align} তাহলে \(q^\prime\) এর মানের জন্য সমীকরণের বসিয়ে পাচ্ছি- \begin{align} q^\prime = \dfrac{q\left(\left(\dfrac{a^2}{y}\right)-a\right)}{y-a} \end{align} থেকে পাবে- \begin{align} q^\prime = -\dfrac{a}{y}q \end{align} এবার বিভব হিসেব করার জন্য উপরের সমীকরণে এই মানগুলি বসিয়ে দিয়ে পাচ্ছি- \begin{align} \Phi(x) &= \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\left[\dfrac{1}{|\bar{x}-\bar{y}|}-\dfrac{1}{\frac{y}{a}\bar{x}-\frac{a}{y}\bar{y}}\right] \end{align} যদি \(\bar{y}\) ভেক্টরকে \(z\) অক্ষের ওপর নিয়ে আসা হয় এবং ভেক্টরগুলিকে স্পেরিকাল কো-অর্ডিনেটে প্রকাশ করা হয়, তাহলে- \begin{align} \Phi(\bar{r}) &= \dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\left[\dfrac{1}{\sqrt{r^2+y^2-2ry\cos\theta}}-\dfrac{1}{\sqrt{\frac{y^2}{a^2}+a^2-2ry\cos\theta}}\right] \end{align} দেখলে, কি সুন্দরভাবে বিভবের মান বের হয়ে গেলো? এবার চলো দেখি Surface charge density কিভাবে বের করা যায়।

Surface charge density

আমরা জানি \begin{align} \sigma &= -\epsilon_0 \dfrac{\partial \Phi}{\partial r}\bigg|_{r=a}\\ &=-\dfrac{q}{4\pi a^2}\left(\dfrac{a}{y}\right)\dfrac{1-\frac{a^2}{y^2}}{\left(1+\frac{a^2}{y^2}-2\frac{a}{y}\cos\theta\right)^{3/2}} \end{align} আমরা এখন চার্জ কতৃক বলের মানও হিসেব করতে পারবো।

তড়িৎ বল

কুলম্বের সূত্র থেকে আমরা জানি \begin{align} \bar{F} &= \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{qq^\prime}{y-y^\prime}\hat{z}\\ &= -\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q^2}{a^2}\left(\dfrac{a}{y}\right)^3\left(1-\dfrac{a^2}{y^2}\right)^{-2}\hat{z} \end{align}
পরিবাহী গোলক ও চার্জকণা পরিবাহী গোলক ও চার্জকণা Reviewed by Dayeen on জানুয়ারী ২৯, ২০২০ Rating: 5
Blogger দ্বারা পরিচালিত.