পরিবাহীতল এবং চার্জকণা

একটা উদাহরন দেওয়া যাক। মনেকরো অসীম দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের একটা পরিবাহী তল রয়েছে। এই তলটি ভূমির সাথে সংযুক্ত। এখন এই তলের উপর \(y\) উচ্চতায় একটা ক্ষুদ্র চার্জ \(q\) চার্জ রয়েছে। তোমাকে বলা হলো ওই পরিবাহীতলের উপরে \(r\) দূরত্বে বিভব কত সেটা বের করতে। তুমি হয়তো ভাবছো, এটা খুবই সাধারন ব্যাপার। বিভব হবে \(V=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q}{r}\)। ব্যাপারটা আসলে তা নয়। এক্ষেত্রে মোট বিভব চার্জ \(q\) এবং এর দ্বারা তলের উপর induced চার্জ এই দুইটি বিষয়ের উপরই নির্ভর করবে। যখন চার্জটিকে নামিয়ে তলের উপর রাখা হবে (\(z=0\)), তখন বিভব শূন্য হবে (\(V=0\))। আবার চার্জটিকে তল থেকে যদি বেশি দূরত্বে সরানো হয়, তাহলেও বিভবের মান কমতে থাকবে (\(V\rightarrow 0\)) । কিন্তু আমরা তো ধরে নিয়েছি, তলটি অসীম!

তাহলে এর উপর কতটুকু induced চার্জ আছে সেটা হিসেব করার উপায় কি? আমরা এধরনের সমস্যা সমাধানের জন্যই একটা সুন্দর কায়দা ব্যবহার করবো। মনে করো, তলটির (\(0,0,d\)) অবস্থানে একটা চার্জ \(+q\) রয়েছে। এবং তলটির ঠিক উলটো পাশে (\(0,0,-d\)) অবস্থানে অন্য আরেকটি চার্জ \(-q\) রয়েছে। এক্ষেত্রে যেহেতু আমরা দুইটি চার্জেরই মান এবং দূরত্ব জানি, খুব সহজেই এদের বিভব বের করে ফেলা যাবে। \begin{align} V(x,y,z) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\dfrac{q}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}}-\dfrac{q}{\sqrt{x^2+y^2+(z+d)^2}}\right] \end{align} কিন্তু মজার ব্যাপার দেখো, এই সমীকরণে
  • যখন \(z=0\) তখন \(V=0\)
  • আবার যখন \(x^2+y^2+z^2\gg d^2\) তখন \(V\rightarrow 0\)
যদিও আমরা একটি কাল্পনিক চার্জ নিয়ে এসে সমস্যাটি সমাধান করেছি, তবুও এটি আমাদের আসল সমাধানের সকল শর্তই পূরণ করছে। আর Uniqueness থিওরী অনুযায়ী, এই তলের জন্য একই শর্ত পূরণকারী সমাধান মাত্র একটাই থাকবে। আমরা নিজের অজান্তেই জটিল একটা সমস্যাকে সহজে সমাধান করে ফেললাম। এটাই হচ্ছে প্রতিচ্ছবি বা কাল্পনিক চার্জের সাহায্যে বিভব নির্ণয়ের মূল ধারণা।

Surface charge

যেহেতু আমরা বিভবের নাম হিসেব করে ফেলেইছি, এবার তাহলে surface charge টাও হিসেব করে ফেলতে পারবো। \begin{align} \sigma=-\epsilon_0 \dfrac{\partial V}{\partial z}\bigg|_{z=0} \end{align} এখন সমীকরণে \(V\) এর মান বসিয়ে পাচ্ছি- \begin{align} \dfrac{\partial V}{\partial z}\bigg|_{z=0} &= \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[ \dfrac{-q(z-d)}{(x^2+y^2+(z-d)^2)^{3/2}}+\dfrac{q(z+d)}{(x^2+y^2+(z+d)^2)^{3/2}}\right]\\ &= \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[ \dfrac{qd}{(x^2+y^2+d^2)^{3/2}}+\dfrac{qd}{(x^2+y^2+d^2)^{3/2}}\right]\\ &= \dfrac{qd}{2\pi\epsilon_0(x^2+y^2+d^2)^{3/2}} \end{align} তাহলে মান বসিয়ে পাবো- \begin{align} \sigma =\dfrac{-qd}{2\pi(x^2+y^2+d^2)^{3/2}} \end{align}

তড়িৎ বল

কুলম্বের সূত্র থেকে পাই \begin{align} \bar{F}=-\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q^2}{(2d)^2}\hat{z} \end{align}

তড়িৎ শক্তি

চার্জ \(q\) কে অসীম দূরত্ব হতে পরিবাহীতলের \(d\) দূরত্ব নিয়ে আসতে যে কাজ করতে হয় সেটা হিসেব করলেই আমরা তড়িৎশক্তি বের করে ফেলতে পারবো। \begin{align} W&=\int_\infty^d \bar{F}.d\bar{l}\\ &=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_\infty^d \dfrac{q^2}{4z^2}dz\\ &=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(-\dfrac{q^2}{4z}\right)\bigg|_\infty^d\\ &=-\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q^2}{4d} \end{align} একটা জিনিষ লক্ষ করো, এখানে একটি চার্জকে অসীম থেকে পরিবাহী তলের কাছে নিয়ে আসার জন্য আমরা এই তড়িৎশক্তির মান পেয়েছে। যদি দুইটি চার্জকে নিয়ে আসা হতো তাহলে দ্বিগুন পরিমান তড়িৎশক্তির প্রয়োজন হতো।
পরিবাহীতল এবং চার্জকণা পরিবাহীতল এবং চার্জকণা Reviewed by Dayeen on জানুয়ারী ২৯, ২০২০ Rating: 5
Blogger দ্বারা পরিচালিত.