Euler-Lagrange এর সমীকরণটি কী?

একটা মেকানিকাল সিস্টেমকে \( L \left( q_{1},~q_{2},~q_{3} \ldots ,q_{n},~\dot{q}_{1},~\dot{q}_{2},~~\dot{q}_{3}, \ldots ~ \dot{q}_{n},t \right) \) বা সংক্ষেপে \( L \left( q,\dot{~q}, t \right) \) এই ফাংশন দিয়ে প্রকাশ করা যাক। সিস্টেমের গতিশক্তি এবং বিভবশক্তির পার্থক্যকে বলা হয় ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান; \( L=T-U \) ।\par আমাদের শর্ত হচ্ছে, \( t_{1} \) এবং \( t_{2} \) সময়ে এই ফাংশনটিকে এমনভাবে ইনটেগ্রেট করতে হবে যেন, \par \( S= \int _{t_{1}}^{t_{2}}L \left( q_{i},\dot{~q_{i}}, t \right) dt \) , এই ইন্টেগ্রালটি একটি optimum value দেয়, অর্থাৎ হতে পারে এটি মিনিমাম বা ম্যাক্সিমাম, এই ইন্টেগ্রালটিকে বলা হয় সিস্টেমের Action। ধরা যাক, \( q_{i}=q_{i} \left( t \right) \) এই ফাংশনটির জন্য \( S \) হবে মিনিমাম। এখন, \( q \rightarrow q_{i} \left( t \right) + \delta q_{i} \left( t \right) \) দিয়ে প্রতিস্থাপন করা যাক যেখানে \( \delta q_{i} \left( t \right) \) হচ্ছে \( t_{1} \) এবং \( t_{2} \) সময়ে \( q_{i} \left( t \right) \) ফাংশনের variation. \par \[ \] \[ \delta S= \delta ~ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L \left( q_{i},\dot{~q_{i}}, t \right) dt=0 \] \par \[ \] \[ \delta S= \int _{t_{1}}^{t_{2}}L \left( q_{i}+ \delta q_{i},\dot{~q_{i}}+ \delta \dot{~q_{i}}~,t \right) dt- \int _{t_{1}}^{t_{2}}L \left( q_{i},\dot{~q_{i}}, t \right) dt \] \par \[ \] \[ ~~~~~~= \int _{t_{1}}^{t_{2}}L \left( q_{i}+ \delta q_{i},\dot{~q_{i}}+\frac{d}{dt} \left( \delta q_{i} \right) ~,t \right) dt- \int _{t_{1}}^{t_{2}}L \left( q_{i},\dot{~q_{i}}, t \right) dt \] \par \[ \] \[ ~~~~~~= \int _{t_{1}}^{t_{2}} \left( L \left( q_{i},~\dot{~q_{i}},t \right) +\frac{ \partial L}{ \partial q_{i}} \left( \delta q_{i} \right) + \frac{ \partial L}{ \partial \dot{~q_{i}}}\frac{d}{dt} \left( \delta q_{i} \right) -L \left( q_{i},~\dot{~q_{i}},t \right) \right) dt \] \par \[ \] \[ ~~~~~~= \int _{t_{1}}^{t_{2}} \left( \frac{ \partial L}{ \partial q_{i}} \left( \delta q_{i} \right) +\frac{ \partial L}{ \partial \dot{~q_{i}}}~\frac{d}{dt} \left( \delta q_{i} \right) \right) dt \] \par \[ \] \[ ~~~~~ = \int _{t_{1}}^{t_{2}}\frac{ \partial L}{ \partial q_{i}} \left( \delta q_{i} \right) dt+ \int _{t_{1}}^{t_{2}}\frac{d}{dt}\frac{ \partial L}{ \partial \dot{~q_{i}}}~ \left( \delta q_{i} \right) dt \] \par \[ \] \[ ~~~~~ = \int _{t_{1}}^{t_{2}}\frac{ \partial L}{ \partial q_{i}} \left( \delta q_{i} \right) dt+ \int _{t_{1}}^{t_{2}}\frac{d}{dt}~ \left( \frac{ \partial L}{ \partial \dot{~q_{i}}} \left( \delta q_{i} \right) \right) ~dt- \int _{t_{1}}^{t_{2}} \left( \frac{d}{dt}\frac{ \partial L}{ \partial \dot{~q_{i}}} \right) \left( \delta q_{i} \right) dt \] \par এখানে, দ্বিতীয় ইন্টেগ্রেশন এর মান হবে শূন্য,\par \[ \] \[ \int _{t_{1}}^{t_{2}}\frac{d}{dt}~ \left( \frac{ \partial L}{ \partial \dot{~q_{i}}} \left( \delta q_{i} \right) \right) ~dt= \left[ \frac{ \partial L}{ \partial \dot{~q_{i}}} \left( \delta q_{i} \right) \right] _{t_{1}}^{t_{2}}=0 \] \par সুতরাং,\par \[ \] \[ \int _{t_{1}}^{t_{2}}\frac{ \partial L}{ \partial q_{i}} \left( \delta q_{i} \right) dt- \int _{t_{1}}^{t_{2}} \left( \frac{d}{dt}\frac{ \partial L}{ \partial \dot{~q_{i}}} \right) \left( \delta q_{i} \right) dt=0 \] \par \[ \] \[ \frac{ \partial L}{ \partial q_{i}}-\frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L}{ \partial \dot{~q_{i}}} \right) =0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \left( 1 \right) \] \par উপরোক্ত ইকুয়েশনটি হচ্ছে ল্যাগ্রাঞ্জ বা ইউলার ল্যাগ্রাঞ্জ ইকুয়েশন। পরবর্তিতে আমরা বিভিন্ন ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য এটি ব্যবহার করবো।\par
Euler-Lagrange এর সমীকরণটি কী?  Euler-Lagrange এর সমীকরণটি কী? Reviewed by Dayeen on মে ২০, ২০২০ Rating: 5
Blogger দ্বারা পরিচালিত.