সর্বজনীন স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা

আগের অধ্যায়ে Degrees of Freedom নিয়ে আলোচনা করার সময় উদাহরণ হিসাবে বলেছিলাম, একটি বস্তুর অবস্থানকে বোঝানোর জন্য আমরা ত্রিমাত্রিক বা দ্বিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ব্যবহার করে থাকি। এমনকি প্রয়োজনে কার্তেসিয়ান বা সিলিন্ড্রিকাল স্থানাঙ্কও ব্যবহার করতে পারি।

কিন্তু ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান মেকানিক্সে হিসাবের সুবিধার জন্য কোন বস্তুর অবস্থান বোঝানোর জন্য এরকম হাজার রকমের স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার ঝামেলা এড়াতে আমরা সর্বজনীন স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ব্যবহার করি। এজন্য ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান প্রিন্সিপাল নিয়ে আরও বিস্তারিত আলোচনা করার আগে চলো জেনে নেই সর্বজনীন স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা এবং এটির ব্যবহার সম্পর্কে।

যখন একটা সিস্টেমের কয়টি Degrees of freedom আর কয়টি Constraint রয়েছে সেটা জানতে পারি, তখন সেই সিস্টেমের জন্য আমরা সর্বজনীন স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে পারি। উদাহরণসরূপ যদি একটি ত্রিমাত্রিক সিস্টেমের Degrees of freedom \(3N\) হয় আর সিস্টেমে মোট \(k\) টি constraint থাকে, তাহলে ওই সিস্টেমের জন্য প্রয়োজন হবে \(3N-k\) টি সর্বজনীন স্থানাঙ্ক। সর্বজনীন স্থানাঙ্ক সাধারণভাবে (\(q_1,q_2,\dots,q_{3N-k}\)) এভাবে প্রকাশ করা হয়ে থাকে।

এখন তোমাদের মাথায় হয়তো একটি প্রশ্ন ঘুরছে, এতদিনতো অবস্থান ভেক্টরগুলিকে \(\textbf{r}_1, \textbf{r}_2,\dots,\textbf{r}_N\) কার্তেসিয়ান \(x,y,z\) বা সিলিন্ড্রিকাল \(\rho,\phi,z\) অক্ষাংশের মাধ্যমে প্রকাশ করেছো, এইবার কিভাবে সেটি করবে? ব্যাপারটা আসলে অনেকটা আগের মতই, অবস্থান ভেক্টরগুলিকে এখন লিখতে পারো এভাবে- \begin{align*} \textbf{r} &= \textbf{r}_1(q_1,q_2,\dots,q_{3N-k},t)\\ \vdots\\ \textbf{r}_N &= \textbf{r}_N(q_1,q_2,\dots,q_{3N-k},t) \end{align*} এইযে \(q_i=(q_1,q_2,\dots,q_{3N-k})\) রাশিগুলি আমাদের অবস্থান ভেক্টরকে প্রকাশ করতে সাহায্য করছে, এদেরকে সর্বজনীন স্থানাঙ্ক বলা হয়। এখন মনেকরো তুমি \(t\) সময়ে কোন কিছুর বেগ হিসেব করতে চাও। তোমাদের মনে আছে, অবস্থান ভেক্টরকে সময়ের \(t\) সাপেক্ষে ডিফারেন্সিয়েশন করলেই তার বেগ বের করে ফেলা যায়। এখানেও সেভাবে বস্তুর সর্বজনীন বেগ নির্ণয় করতে পারবে- \begin{align*} \textbf{v}_i &= \dfrac{d\textbf{ r}_i}{dt}= \dot{\textbf{q}}_i \end{align*} একই ভাবে অবস্থানকে দুইবার ডিফারেন্সিয়েশন করে বস্তুটির ত্বরণও বের করে ফেলা যায়। \begin{align*} \textbf{ a}_i=\frac{d^{2}\textbf{ r}_i}{dt^{2}}=\ddot{\textbf{q}}_i \end{align*} এখানে হয়তো তোমরা \( \dot{\textbf{q}}_i, \ddot{\textbf{q}}_i\) দেখে ভাবছো এগুলি আবার কী? সময়ের সাপেক্ষে ডিফারেন্সিয়েশন করলে সেটিকে ওই রাশির উপর ডট দিয়ে প্রকাশ করা যায়। যেহেতু বেগের জন্য একবার সময়ের সাপেক্ষে ডিফারেন্সিয়েশন করেছি তাই \( \textbf{v}=\dot{\textbf{q}}_i \) এবং ত্বরণ বের করার জন্য সময়ের সাপেক্ষে দুইবার ডিফারেন্সিয়েশন করা লেগেছে এজন্য \( \textbf{a}=\ddot{\textbf{q}}_i \) দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে। আমরা এখন থেকে সর্বজনীন বেগকে \(\dot{\textbf{q}}_i\) আর ত্বরণকে \(\ddot{\textbf{q}}_i\) দিয়েই প্রকাশ করবো।
সর্বজনীন স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা সর্বজনীন স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা Reviewed by Dayeen on মে ১৯, ২০২০ Rating: 5
Blogger দ্বারা পরিচালিত.