ভেক্টর রাশির যোগ ও বিয়োগ

মনেকরো, তুমি $O$ বিন্দু হতে হাটতে হাটতে $M$ বিন্দুতে তোমার বন্ধুর বাড়িতে যেতে চাচ্ছো। তুমি চাইলে $ABC$ পথ ধরে যেতে পারো, $BCA$ পথ ধরেও যেতে পারো অথবা $BAC$ পথ ধরেও যেতে পারো।

ছবিঃ ১

কিন্তু তুমি যে পথ ধরেই যাওনা কেন, $O$ থেকে $M$ এর রৈখিক দূরত্ব কিন্তু বদলাবে না। ভেক্টর যোগের মূল বিষয়টা অনেকটা এরকম। দুই বা ততোধিক ভেক্টরকে যেভাবেই সাজাও না কেন, তাদের যোগফলের মান একই থাকবে। যদি দুটি ভেক্টর একে অন্যের সমান্তরাল হয়, তখন খুব সহজেই একটি ভেক্টরের পাদবিন্দুতে অন্যটির শীর্ষবিন্দু বসিয়ে ভেক্টরদুটির মান সরাসরি যোগ করে দিতে পারবে। কিন্তু সেটা সবক্ষেত্রে ভেক্টরগুলি একে অপরের সমান্তরাল নাও হতে পারে। সেক্ষেত্রে গ্রাফিকালভাবে ভেক্টরযোগের দুইটি পদ্ধতি রয়েছে- ১) ত্রিভুজ পদ্ধতি ২) সামান্তরিক পদ্ধতি ।

ত্রিভুজ পদ্ধতিঃ

ধরো $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ দুটি ভেক্টর; এবং তারা একে অপরের সমান্তরাল নয়। এদেরকে যোগ করার জন্য $\vec{A}$ এর শীর্ষবিন্দুতে $\vec{B}$ এর পাদবিন্দু নিয়ে এসে বসাও। তারপর $\vec{A}$ এর পাদবিন্দু থেকে $\vec{B}$ এর শীর্ষবিন্দু পর্যন্ত একটি ভেক্টর আকো; মনেকরো এই ভেক্টরটার নাম $\vec{R}$।

ছবিঃ ২ 

তাহলে $\vec{R}$ ভেক্টরটি $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর যোগফল নির্দেশ করবে, অর্থাৎ $\vec{A}+\vec{B}=\vec{R}$। এবং $\vec{R}$ কে লব্ধি ভেক্টরResultant vector বলা হয়।

একের অধিক ভেক্টরের যোগফল যে ভেক্টরের সাহায্যে প্রকাশ করা হয় তাকে লব্ধি ভেক্টর বলা হয়।

একই পদ্ধতি ব্যবহার করে দুইয়ের অধিক ভেক্টরের যোগফলও হিসাব করা যায়। মনেকরো তোমার কাছে $\vec{A},\vec{B},\vec{C}$ ও $\vec{D}$ ভেক্টর রয়েছে।

ছবিঃ ৩ 

$\vec{A}$ এর শীর্ষবিন্দুতে $\vec{B}$ এর পাদবিন্দু বসাও এবং $\vec{A}$ এর পাদবিন্দু থেকে আরেকটি বাহু $\vec{M}$ একে ত্রিভুজটি সম্পূর্ণ করো; তাহলে $\vec{M}$ হবে $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর লব্ধি ভেক্টর। অর্থাৎ $\vec{M}=\vec{A}+\vec{B}$।

ছবিঃ ৪ 

এবার $\vec{B}$ এর শীর্ষবিন্দুতে $\vec{C}$ এর পাদবিন্দু বসাও এবং $\vec{M}$ এর পাদবিন্দু থেকে $\vec{C}$ এর শীর্ষবিন্দু পর্যন্ত লব্ধি ভেক্টর $\vec{N}$ একে ত্রিভুজটি সম্পূর্ণ করো। তাহলে $\vec{N}=\vec{M}+\vec{C}$ অর্থাৎ $\vec{N}=\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}$ ।

সবশেষে $\vec{C}$ এর শীর্ষবিন্দুতে $\vec{D}$ এর পাদবিন্দু বসিয়ে $\vec{N}$ এর পাদবিন্দু থেকে $\vec{D}$ এর শীর্ষবিন্দু পর্যন্ত লব্দি ভেক্টর $\vec{R}$ আকো, তাহলে $\vec{R}=\vec{N}+\vec{D}$।

সুতরাং ভেক্টরযোগের ত্রিভুজ পদ্ধতি অনুসারে লিখতে পারো $\vec{R}= \vec{A}+\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}$।

ছবিঃ ৫ 

একটু খেয়াল করলেই বুঝতে পারবে যে, এতগুলো আলাদা আলাদা ত্রিভুজ না একে সবগুলো ভেক্টরকে একে অপরের উপর বসিয়ে সরাসরি $\vec{A}$ এর পাদবিন্দু থেকে $\vec{R}$ আঁকলেও একই লব্ধি ভেক্টরই পেতে।

ভেক্টরযোগের সামান্তরিকসূত্র

ভেক্টর যোগ করার জন্য সবসময় যে ত্রিভুজই তৈরি করতে হবে ব্যাপারটা এরকম নয়। গ্রাফিকাল পদ্ধতিতে ভেক্টর

ভেক্টরস্পেসের ধারণা উপাংশের সাহায্যে ভেক্টরের যোগ-বিয়োগ