ভেক্টরের উপাংশ

ভেক্টর উপাংশ

বিস্তারিত আলোচনায় যাবার আগে ভেক্টর উপাংশ সম্পর্কে তোমাদের একটু বলে নেই। যেমন $\vec{A}$ ভেক্টরটির কথাই ধরো, এটি দ্বিমাত্রিক তলে x-অক্ষের সাথে $\theta^{\circ}$ কোণ তৈরি করেছে। এই ভেক্টর $\vec{A}$ কে তার কো-অর্ডিনেটের অক্ষ বরাবর ভাগ করতে পারি। এদেরকে বলবো ওই ভেক্টরের উপাংশ Vector component । দ্বিমাত্রিক কো-অর্ডিনেট সিস্টেমে ভেক্টরটির উপাংশ থাকবে দুইটি। একইভাবে ত্রিমাত্রিক কো-অর্ডিনেট সিস্টেমে ভেক্টরটির উপাংশ হবে তিনটি। যদি $n$-মাত্রিক কো-অর্ডিনেট সিস্টেম চিন্তা করো, তাহলে ভেক্টরটিকে $n$ টি উপাংশে ভাগ করতে পারবে।

ছবিঃ ১

দ্বিমাত্রিক তলে ভেক্টরের উপাংশঃ

উপাংশ হিসেব করার জন্য $\vec{A}$ এর নিচের বিন্দু হতে $x$-অক্ষের সমান্তরাল $A_x$ আকো আর তীরের মাথা বিন্দু থেকে $y$-অক্ষের সমান্তরাল (অথবা $x$-অক্ষের লম্ব বরাবর) $A_y$ আকো। তাহলে একটা সমকোণী ত্রিভুজ পাচ্ছো। ত্রিকোণমিত্রির সূত্র ব্যবহার করে পাবে- \begin{align} \cos\theta &= \dfrac{|\vec{A}_x|}{|\vec{A}|}\\ \Rightarrow |\vec{A}_x| &= |\vec{A}|\cos\theta \end{align} একইভাবে $\vec{A}_y$ এর জন্য লিখতে পারো- \begin{align} \sin\theta &= \dfrac{|\vec{A}_y|}{|\vec{A}|}\\ \Rightarrow |\vec{A}_y| &= |\vec{A}| \sin\theta \end{align} এবার সমীকরন (4) কে (3) দিয়ে ভাগ করে লিখতে পারো- \begin{align} \tan\theta &= \dfrac{|\vec{A}_y|}{|\vec{A}_x|}\\ \Rightarrow &= \tan^{-1}\dfrac{|\vec{A}_y|}{|\vec{A}_x|} \end{align} আবার, যেহেতু $\vec{A}_x$ এবং $\vec{A}_y$ একে অপরের উপর লম্ব, সেহেতু তুমি চাইলেই এখানে পিথাগোরাসের থিওরেম ব্যবহার করতে পারো। এখানে $\vec{A}$ হচ্ছে অতিভুজ, $\vec{A}_x$ লম্ব এবং $\vec{A}_y$ ভূমি। সুতরাং পিথাগোরাসের থিওরেম অনুসারে- \begin{align} |\vec{A}|&=\sqrt{|\vec{A}_x|^2+|\vec{A}_y|^2} \end{align} খেয়াল করো যে, দুইমাত্রিক কো-অর্ডিনেট সিস্টেমে ভেক্টরের উপাংশ দুইটি $A_x$ ও $A_y$ । কাজেই ভেক্টর $\vec{A}$ কে এর উপাংশের সাহায্যে লিখতে পারো এভাবে- \begin{align} \vec{A} &= \begin{bmatrix} A_x\\ A_y\\ \end{bmatrix} \end{align} অথবা এভাবে- \begin{align} \vec{A} &= A_x\hat{e}_x+A_y\hat{e}_y \end{align} এখানে ${e}_x, {e}_y$ ও ${e}_z$ হচ্ছে বেসিস ইউনিট ভেক্টর। এবং \begin{align} \hat{e}_x &= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \end{bmatrix} & \hat{e}_y &= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ \end{bmatrix} \end{align}

ত্রিমাত্রিক তলে ভেক্টরের উপাংশঃ

ছবিঃ ২

ত্রিমাত্রিক কো-অর্ডিনেট এরজন্য উপাংশ হবে তিনটি $A_x, A_y$ ও $A_z$ । একইভাবে ত্রিকোণমিতির সূত্র ব্যবহার করে পাবে- \begin{align} |\vec{A}_x| &= |\vec{A}_{xz}|\cos\theta = |\vec{A}|\cos\phi\cos\theta\\ |\vec{A}_y| &= |\vec{A}_y|\sin\phi\\ |\vec{A}_z| &= |\vec{A}_{xz}|\sin\theta = |\vec{A}|\cos\phi\sin\theta \end{align} এবং একই পদ্ধতিতে হিসাব করে $\vec{A}$ ভেক্টরকে লিখতে পারো- \begin{align} \vec{A} &= \begin{bmatrix} A_x\\ A_y\\ A_z \end{bmatrix} \end{align} অথবা এভাবে- \begin{align} \vec{A} &= A_x\hat{e}_x+A_y\hat{e}_y+A_z\hat{e}_z \end{align} ত্রিমাত্রিক তলে বেসিস ভেক্টরগুলোর মান হবে- \begin{align} \hat{e}_x &= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} & \hat{e}_y &= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} & \hat{e}_z &= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \end{align} এবং আগের মতই একটু ত্রিকোণমিতির সাহায্য নিয়ে $\vec{A}$ ভেক্টরের মান বের করতে পারো এভাবে- \begin{align} |\vec{A}|=\sqrt{|\vec{A}_x|^2+|\vec{A}_y|^2+|\vec{A}_z|^2} \end{align}

আর কোণ হিসাব করার জন্য সমীকরণ (১১)-(১৩) ব্যবহার করে লিখতে পারো- \begin{align} \theta &= \tan^{-1} \dfrac{|\vec{A}_z|}{|\vec{A}_x|} & \phi &= \sin^{-1}\dfrac{|\vec{A}_y|}{|\vec{A}|} \end{align} সুতরাং একটি ভেক্টররাশির উপাংশ জানা থাকলে এই সূত্রগুলির মাধ্যমে ভেক্টরটির মান এবং দিক নির্ণয় করতে পারবে।

ভেক্টর ও স্কেলার রাশির ধারণাভেক্টরস্পেসের ধারণা