ভেক্টরস্পেসের ধারণা

আগের এই পরিচ্ছেদটা পড়ে অনেকেই হয়তো ভাবছো ভেক্টর মানে একটি তীরচিহ্ন ছাড়া কিছুই নয়, আশা করি এই পরিচ্ছদের শেষে তাদের ভুল ধারণাটি ভেঙে যাবে।

ভেক্টরস্পেসঃ

মনেকরো স্পেসশীপটা যে বিন্দু থেকে যাত্রাশুরু করেছে সেটিকে মূলবিন্দু ধরে একটি দ্বিমাত্রিক কার্তেসিয়ান কো-অর্ডিনেট সিস্টেম কল্পনা করলে। এবার মূলবিন্দু থেকে স্পেসশীপটার অবস্থান পর্যন্ত একটা লম্বা করে ভেক্টর আঁকলে। এটিহবে একটি দ্বিমাত্রিক অবস্থান ভেক্টর।

ছবিঃ ১ 

দ্বিমাত্রিক তলের এই অবস্থান ভেক্টরটিকে তুমি চাইলে দুইটি রাশি ($x$ কো-অর্ডিনেট আর $y$ কো-অর্ডিনেট) এর সাহায্যে প্রকাশ করতে পারো। \begin{align} \vec{V}_{2D} &= [v_1,v_2] \end{align} আবার ধরো স্পেসশীপটা চালাতে চালাতে কখনো ডানে মোড় নিলে, কখনো বা বামে মোড় নিলে, কখনো উপরের দিকে চালালে আবার একটু পর হয়তো নিচের দিকে খানিকটা নামলে (স্পেসে ডান-বাম বা উপর-নিচের ধারণা আপেক্ষিক), তুমি চাইলে এই সবগুলো অবস্থানকেই আলাদা আলাদা অবস্থান ভেক্টর দিয়ে নির্দেশ করতে পারবে। দ্বিমাত্রিক তলের এরকম সকল ভেক্টরকে একসাথে বলা যায় দ্বিমাত্রিক ভেক্টরস্পেস।

একইভাবে যদি ত্রিমাত্রিক কো-অর্ডিনেট সিস্টেমে স্পেসশীপটার অবস্থানকে ভেক্টরের সাহায্যে প্রকাশ করতে চাও, তাহলে তোমার দরকার তিনটি রাশি ($x$ কো-অর্ডিনেট, $y$ কো-অর্ডিনেট আর $z$ কো-অর্ডিনেট)।

ছবিঃ ২ 

এবং এক্ষেত্রে ভেক্টরটি হচ্ছে- \begin{align} \vec{V}_{3D} &= [v_1,v_2,v_3] \end{align} ত্রিমাত্রিক তলের এরকম সকল ভেক্টরকে তাহলে একসাথে বলতে পারবে ত্রিমাত্রিক ভেক্টরস্পেস।

তোমরা দেখতে পাচ্ছো যে, দ্বিমাত্রিক ভেক্টরস্পেসের জন্য লাগছে দুটি রাশি, ত্রিমাত্রিক ভেক্টরস্পেসের জন্য প্রয়োজন হচ্ছে তিনটি রাশির। এই ধারনার উপর ভিত্তি করে তাহলে বলতে পারো দশ মাত্রার ভেক্টরস্পেসের জন্য লাগবে দশটি রাশি, অর্থাৎ - \begin{align} \vec{V}_{10D} &= [v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6,v_7,v_8,v_9,v_{10}] \end{align} সুতরাং $n$-মাত্রার ভেক্টরস্পেসে কোন ভেক্টরকে প্রকাশ করতে হলে $n$-সংখ্যক রাশি প্রয়োজন হবে। \begin{align} \vec{V}_{nD} &= [v_1,v_2,v_3,\dots, v_n] \end{align} এখানে একটা জিনিস বলে রাখি, অবস্থান ভেক্টরের কো-অর্ডিনেটগুলোকে যে পাশাপাশি সাজিয়ে (row vector) লিখতে হবে এমনটি নয়, এদেরকে এভাবে উপর থেকে নিচেও (column vector) লিখতে পারো- \begin{align} \vec{V}_{nD} = \begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix} \end{align} এভাবে $n$টি কো-অর্ডিনেটের ভেক্টরস্পেসকে আমরা $n$-ভেক্টরস্পেস বলে থাকি। আর এর উপদানগুলো হচ্ছে ভেক্টর।

একটি ভেক্টরস্পেস হচ্ছে একটি সেট। আর সেই সেটের উপদানগুলোকে ভেক্টর বলা হয়।

তোমরা জানো যে একটি ভেক্টরকে বাস্তব সংখ্যা দিয়ে গুণ করে তার দৈর্ঘ্য পরিবর্তন করা যায়। $n$-স্পেসে তুমি চাইলে সবগুলো কো-অর্ডিনেটকে একটি বাস্তব সংখ্যা $c$ দিয়ে গুণ করে তাদের দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন করতে পারো, এখানে $c\in R$। \begin{align} c.\vec{V}_{nD} &= [c.v_1,c.v_2,c.v_3,\dots,c. v_n] \end{align} যে বাস্তব সংখ্যা দিয়ে ভেক্টরস্পেসকে গুণ করলে সেটিকে বলা হয় স্কেলার। এই স্কেলারগুলো ভেক্টরস্পেসে বাড়তি বৈশিষ্ট্য ও অবয়ব যোগ করে। স্কেলারকে যে সবসময় বাস্তব সংখ্যাই হতে হবে এমন কোন কথা নেই অবশ্য, স্কেলার জটিল সংখ্যাও হতে পারে।

যে বাস্তব সংখ্যা বা কোন উপাদান দিয়ে ভেক্টরস্পেসকে গুণ করার মাধ্যমে ভেক্টরস্পেসের উপদানগুলোর বাড়তি বৈশিষ্ট্য প্রদান করা হয় তাকে স্কেলার বলে।

ভেক্টরকে যোগ- বিয়োগ, গুণ সবই করতে পারবে। তবে ভেক্টরের ক্ষেত্রে যোগ, বিয়োগ ইত্যাদির নিয়ম একটু আলাদা। এগুলো নিয়ে আরেকটা পরিচ্ছেদে আলোচনা করবো।

ভেক্টরের উপাংশ ভেক্টর রাশির যোগ ও বিয়োগ