ভেক্টর রাশির ডট গুণন

ভেক্টর রাশির গুণ করার পদ্ধতি দুটিঃ একটি হচ্ছে স্কেলার গুণন পদ্ধতি আরেকটি হলো ভেক্টর গুণন পদ্ধতি। যখন ভেক্টর রাশিগুলির গুণফল একটি স্কেলার রাশি হয়, তাকে স্কেলার গুণ বলা হয়ে থাকে। মনেকরো $\vec{a}$ , $\vec{b}$ এর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $|\vec{a}|$ ও $|\vec{b}|$ এবং এদের মধ্যবর্তী কোণের পরিমাপ $\theta$। তাহলে গাণিতিকভাবে এদের স্কেলার গুণনকে প্রকাশ করা হবে- \begin{align} \vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \end{align} লক্ষ্যকরো যে ভেক্টর $\vec{a}$ , $\vec{b}$ এর মাঝে একটি ডট (.) দিয়ে গুণকে প্রকাশ করা হয়েছে। এজন্য স্কেলারগুণনকে অনেকসময় ডটগুণনও বলা হয়।

দুটো ভেক্টরের দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের $cosine$ এর গুণনকে স্কেলার গুণন বা ডট গুণন বলা হয়। ডট গুণফল একটি স্কেলার রাশি হবে।

$\vec{a}$ , $\vec{b}$ এর ডট গুণফল ধনাত্মক নাকি ঋণাত্মক হবে সেটা তাদের অন্তর্গত কোণ $\theta$ এর উপর নির্ভর করে। যদি $\theta \lt 90^\circ$ হয় অর্থাৎ মধ্যবর্তী কোণ সূক্ষ্মকোণ হয়, তাহলে ভেক্টরদুটির ডট গুণফল ধনাত্মক হবে। আর যদি $\theta \gt 90^\circ$ হয় অর্থাৎ মধ্যবর্তী কোণ যদি স্থুলকোণ হয় তাহলে ডট গুণফল ঋণাত্মক হবে।

ভেক্টর উপাদানের ডটগুণন

ভেক্টর স্পেসে ডটগুণন

ডটগুণনের ধর্মাবলী

ভেক্টররাশির ডটগুণনের কিছু মজাদার ধর্ম রয়েছে। সেগুলি হলো-

• ১) দুটি ভেক্টরের ডটগুণফল commutative। অর্থাৎ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ এর জন্য-
  Click to calculation
  
  \begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\\ &= |\vec{v}||\vec{u}|\cos\theta\\ &= \vec{v}.\vec{u} \end{align*} সুতরাং
  \begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=\vec{v}.\vec{u} \end{align*}
• ২) ভেক্টরের ডটগুণফল associative। অর্থাৎ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ দুটি ভেক্টর এবং $\alpha$ একটি স্কেলার হলে-
  Click to calculation
  
  \begin{align*} (\alpha \vec{u}).\vec{v} &= \alpha uv\cos\theta \end{align*} আবার \begin{align*} \alpha (\vec{u}.\vec{v}) &= \alpha uv\cos\theta \end{align*} এবং \begin{align*} \vec{u}.( \alpha \vec{v}) &= \alpha uv\cos\theta \end{align*} সুতরাং
  \begin{align*} (\alpha\vec{u}).\vec{v}=\alpha(\vec{u}.\vec{v})=\vec{u}.(\alpha\vec{v}) \end{align*}
• ৩) দুটি ভেক্টরের যোগের সাথে তৃতীয় একটি ভেক্টরের ডটগুণফলের ক্ষেত্রে সেটি distributive হয়। যেমনঃ তিনটি ভেক্টর $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ এর জন্য $$\vec{a}.(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}.\vec{b}+\vec{a}.\vec{c}$$
• ৪) দুটি ভেক্টর একে অপরের উপর লম্ব হলে তাদের ডটগুণফল শূণ্য হয়। যদি $\vec{a},\vec{b}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হয় আর এরা একে অপরের উপর লম্ব হয়-
  Click to calculation
  
  তাহলে $\theta=90^\circ$ হবে। ডট গুণনের সূত্র থেকে আমরা জানি- \begin{align*} \vec{a}.\vec{b}&=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta\\ &=|\vec{a}||\vec{b}|\cos90^\circ \end{align*} কিন্তু $\cos90^\circ=0$। সুতরাং \begin{align*} |\vec{a}||\vec{b}|\cos90^\circ&=0 \end{align*} অর্থাৎ
  \begin{align*} \vec{a}.\vec{b}&=0 \end{align*}

বেসিস ভেক্টরগুলো যেহেতু একে অপরের উপর লম্ব, সেহেতু তাদের মধ্যকার ডটগুণন সবসময়ই শূণ্য হবে। অর্থাৎ- \begin{align*} \hat{e}_x.\hat{e}_y=\hat{e}_y.\hat{e}_z=\hat{e}_z.\hat{e}_x=0 \end{align*}

৪ নম্বর ধর্ম অনুযায়ী দুটি ভেক্টরের পরস্পরের সাথে লম্ব হবার শর্ত হলো তাদের মধ্যকার ডটগুণফলকে শূণ্য হতে হবে। তবে খেয়াল রাখবে, যদি ভেক্টরদুটির একটি null ভেক্টর (যার মান শূণ্য) হয়, তাহলেও তাদের ডটগুণন শূণ্য হবে, তবে তারা একে অপরের উপর লম্ব হবে না।

ডটগুণনের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা

ভেক্টর রাশির যোগ ও বিয়োগ ভেক্টর রাশির ক্রস গুণন