Physicspedia.org

পদার্থবিজ্ঞানের পাঠশালা

ত্রিকোণমিতিক ফাংশন

তোমরা স্কুলে শিখেছো যে ত্রিকোণমিতিতে আমরা কোণ নিয়ে হিসাব করি এবং সেজন্য কিছু ত্রিকোণমিতিক ফাংশন যেমন- sine (sin⁡\sin), cosine (cos⁡\cos),tangent (tan⁡\tan) ইত্যাদি ব্যবহার করে থাকি। এসো প্রথমে দেখি এই ফাংশনগুলো কিভাবে এঁকে প্রকাশ করা যায়।

প্রথমে একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ্যের একটা বৃত্ত আঁকো। এই একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ্য বিশিষ্ট বৃত্তটির সমীকরণ হচ্ছে - x2+y2=1x^2+y^2=1। এবার একটি ব্যাসার্ধ্য আঁকো, মনেকরো ব্যাসার্ধ্যটি xx-অক্ষের সাথে θ\theta কোণ উৎপন্ন করে। ব্যাসার্ধ্য আর পরিধির সংযোগ বিন্দু থেকে xx-অক্ষের উপর একটি লম্ব আঁকো। এই লম্বের দৈর্ঘ্যটি হচ্ছে sin⁡θ\sin\theta। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে লম্বটি xx-অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করেছে সেই দূরত্বটি হচ্ছে cos⁡θ\cos\theta। বৃত্তের ভেতরের এই ত্রিভুজটি হলো একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার অতিভুজের দৈর্ঘ্য এক, লম্ব হচ্ছে sin⁡θ\sin\theta আর ভূমি cos⁡θ\cos\theta। এই ত্রিভুজের উপর পিথাগোরাসের থিওরেম প্রয়োগ করলে পাবে -

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\begin{align} \cos^2\theta+\sin^2\theta &= 1 \end{align}

ব্যাসার্ধ্য যে বিন্দুতে পরিধিকে ছেদ করেছে সেটির কো-অর্ডিনেট হলো (cos⁡θ\cos\theta,sin⁡θ\sin\theta)। এবার এই বিন্দুতে বৃত্তটির উপর ব্যাসার্ধ্যের উপর লম্ব এমন একটি স্পর্শক আঁকো যেন স্পর্শকটি xx-অক্ষকে একটি বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে সেটি আরেকটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করছে। যেহেতু ত্রিভুজ দুইটি একে অপরের অনুরূপ, জ্যামিতির সূত্র অনুযায়ী এদের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাতও সমান হবে-

d1=sin⁡θcos⁡θ∴d=tan⁡θ\begin{equation} \begin{aligned} \dfrac{d}{1} &= \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\\ \therefore d &= \tan\theta \end{aligned} \end{equation}

অর্থাৎ বিন্দুটি থেকে অক্ষ পর্যন্ত স্পর্শকটির দৈর্ঘ্যই হচ্ছে tan⁡θ\tan\theta। একইভাবে এই ত্রিভুজ থেকে তোমরা প্রমাণ করতে পারবে-

1sin⁡θ=sec⁡θ1cos⁡θ=csc⁡θ1tan⁡θ=cot⁡θ\begin{align} \dfrac{1}{\sin\theta} &= \sec\theta\\ \dfrac{1}{\cos\theta} &= \csc\theta\\ \dfrac{1}{\tan\theta} &= \cot\theta\\ \end{align}

হাইপারবোলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশন

sin⁡\sin, cos⁡\cos, tan⁡\tan আর এদের বিপরীত ফাংশন sec⁡\sec, csc⁡\csc আর cot⁡\cot এর ব্যবহার অনেকের কাছেই পরিচিত হলেও এদের হাইপারবোলিক ফাংশনগুলি হয়তো অতটা পরিচিত নয়। সাধারণ ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের জন্য যেমন একটি একক দৈর্ঘ্যে বৃত্ত এঁকেছিলাম, হাইপারবোলিক ফাংশনের জন্য আমরা ব্যবহার করবো হাইপারবোলা, যার সমীকরণ হবে x2−y2=1x^2-y^2=1 এবং xx এর মান 11 এর সমান অথবা বড় (x≥1x\geq 1) হতে হবে।

এই হাইপারবোলার সমীকরণ থেকে সহজেই দেখতে পাবে -

cosh⁡2θ−sinh⁡2θ=1\begin{align} \cosh^2\theta - \sinh^2\theta =1 \end{align}

হাইপারবোলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলোকে এক্সপোনেন্সিয়ালের সাহায্যেও প্রকাশ করা যায়-

sinh⁡x=ex−e−x2cosh⁡x=ex+e−x2tanh⁡x=ex−e−xex+e−x\begin{align} \sinh x &=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\\ \cosh x &=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\\ \tanh x &= \dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \end{align}

আর এদের বিপরীত ফাংশনগুলো-

cschθ=1sinh⁡xsechθ=1cosh⁡xcoth⁡θ=1tanh⁡x\begin{align} \text{csch} \theta &= \dfrac{1}{\sinh x} \\ \text{sech} \theta &= \dfrac{1}{\cosh x}\\ \coth \theta &= \dfrac{1}{\tanh x} \end{align}

প্রশ্ন আসতে পারে, হাইপারবোলিক ফাংশনের প্রয়োজনীয়তা কী? একটা উদাহরণ দেই। মনেকরো একটা mm ভরের বল সাম্যাবস্থায় আছে। বলটিকে খুব আস্তে করে একটা টোকা দিলে, বলটি একটু নড়ে আবার সাম্যাবস্তায় ফেরত আসলো (অনেকটা ঘড়ির পেন্ডুলামের মতো) । এরকম ক্ষেত্রে বলটির গতিপ্রকৃতি হিসাব করার জন্য বৃত্তাকার ত্রিকোণমিতিক ফাংশন (যেমনঃ Acos⁡ωt,Asin⁡ωtA\cos\omega t, A\sin\omega t ইত্যাদি) ব্যবহার করাটা সহজ হয়। কিন্তু যদি ধাক্কা খেয়ে বলতি সাম্যাবস্থা হারিয়ে পুরো অন্যদিকে দৌড়াদৌড়ি শুরু করে তাহলে হাইপারবোলিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ব্যবহার করা হয় [1]।

তথ্যসূত্রঃ

[1]: Nearing, J. C. (2010). Basic Stuff. In Mathematical tools for physics. essay, Dover.

◄  কোণের পরিমাপঃ ডিগ্রি ও রেডিয়ানভেক্টর ও স্কেলার রাশির ধারণা  ►