Physicspedia.org

পদার্থবিজ্ঞানের পাঠশালা

ভেক্টরের উপাংশ ও মান নির্ণয়

ভেক্টর উপাংশ

বিস্তারিত আলোচনায় যাবার আগে ভেক্টর উপাংশ সম্পর্কে তোমাদের একটু বলে নেই। যেমন v⃗\vec{v} ভেক্টরটির কথাই ধরো, এটি দ্বিমাত্রিক তলে x-অক্ষের সাথে θ∘\theta^{\circ} কোণ তৈরি করেছে। এই ভেক্টর v⃗\vec{v} কে তার কো-অর্ডিনেটের অক্ষ বরাবর ভাগ করতে পারি। এদেরকে বলবো ওই ভেক্টরের উপাংশ Vector component । দ্বিমাত্রিক কো-অর্ডিনেট সিস্টেমে ভেক্টরটির উপাংশ থাকবে দুইটি। একইভাবে ত্রিমাত্রিক কো-অর্ডিনেট সিস্টেমে ভেক্টরটির উপাংশ হবে তিনটি। যদি nn-মাত্রিক কো-অর্ডিনেট সিস্টেম চিন্তা করো, তাহলে ভেক্টরটিকে nn টি উপাংশে ভাগ করতে পারবে।

ছবিঃ ১

দ্বিমাত্রিক তলে ভেক্টরের উপাংশঃ

উপাংশ হিসেব করার জন্য v⃗\vec{v} এর নিচের বিন্দু হতে xx-অক্ষের সমান্তরাল vxv_x আকো আর তীরের মাথা বিন্দু থেকে yy-অক্ষের সমান্তরাল (অথবা xx-অক্ষের লম্ব বরাবর) vyv_y আকো। তাহলে একটা সমকোণী ত্রিভুজ পাচ্ছো। ত্রিকোণমিত্রির সূত্র ব্যবহার করে পাবে-

cos⁡θ=∣v⃗x∣∣v⃗∣⇒∣v⃗x∣=∣v⃗∣cos⁡θ\begin{align} \cos\theta &= \dfrac{|\vec{v}_x|}{|\vec{v}|}\\ \Rightarrow |\vec{v}_x| &= |\vec{v}|\cos\theta \end{align}

একইভাবে v⃗y\vec{v}_y এর জন্য লিখতে পারো-

sin⁡θ=∣v⃗y∣∣v⃗∣⇒∣v⃗y∣=∣v⃗∣sin⁡θ\begin{align} \sin\theta &= \dfrac{|\vec{v}_y|}{|\vec{v}|}\\ \Rightarrow |\vec{v}_y| &= |\vec{v}| \sin\theta \end{align}

এবার সমীকরন (4) কে (3) দিয়ে ভাগ করে লিখতে পারো-

tan⁡θ=∣v⃗y∣∣v⃗x∣⇒=tan⁡−1∣v⃗y∣∣v⃗x∣\begin{align} \tan\theta &= \dfrac{|\vec{v}_y|}{|\vec{v}_x|}\\ \Rightarrow &= \tan^{-1}\dfrac{|\vec{v}_y|}{|\vec{v}_x|} \end{align}

আবার, যেহেতু v⃗x\vec{v}_x এবং v⃗y\vec{v}_y একে অপরের উপর লম্ব, সেহেতু তুমি চাইলেই এখানে পিথাগোরাসের থিওরেম ব্যবহার করতে পারো। এখানে v⃗\vec{v} হচ্ছে অতিভুজ, v⃗x\vec{v}_x লম্ব এবং v⃗y\vec{v}_y ভূমি। সুতরাং পিথাগোরাসের থিওরেম অনুসারে-

∣v⃗∣=∣v⃗x∣2+∣v⃗y∣2\begin{align} |\vec{v}|&=\sqrt{|\vec{v}_x|^2+|\vec{v}_y|^2} \end{align}

খেয়াল করো যে, দুইমাত্রিক কো-অর্ডিনেট সিস্টেমে ভেক্টরের উপাংশ দুইটি vxv_x ও vyv_y । কাজেই ভেক্টর v⃗\vec{v} কে এর উপাংশের সাহায্যে লিখতে পারো এভাবে-

v⃗=[vxvy]\begin{align} \vec{v} &= \begin{bmatrix} v_x\\ v_y\\ \end{bmatrix} \end{align}

অথবা এভাবে-

v⃗=vxe^x+vye^y\begin{align} \vec{v} &= v_x\hat{e}_x+v_y\hat{e}_y \end{align}

এখানে ex,ey{e}_x, {e}_y ও ez{e}_z হচ্ছে বেসিস ইউনিট ভেক্টর। এবং

e^x=[10]e^y=[01]\begin{align} \hat{e}_x &= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \end{bmatrix} & \hat{e}_y &= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ \end{bmatrix} \end{align}

ত্রিমাত্রিক তলে ভেক্টরের উপাংশঃ

ত্রিমাত্রিক কো-অর্ডিনেটে আগের মতই v⃗\vec{v} এর শীর্ষবিন্দু থেকে তিনটি তলের উপর তিনটি লম্বরেখা আঁকো।

ছবিঃ ২

তাহলে xx অক্ষের সমান্তরাল রেখাটি হবে vxv_x, yy অক্ষের সমান্তরাল vyv_y আর zz অক্ষের সমান্তরাল vzv_z উপাংশ পাবে। এবং একই পদ্ধতিতে হিসাব করে v⃗\vec{v} ভেক্টরকে লিখতে পারো-

v⃗=[vxvyvz]\begin{align} \vec{v} &= \begin{bmatrix} v_x\\ v_y\\ v_z \end{bmatrix} \end{align}

অথবা এভাবে-

v⃗=vxe^x+vye^y+vze^z\begin{align} \vec{v} &= v_x\hat{e}_x+v_y\hat{e}_y+v_z\hat{e}_z \end{align}

ত্রিমাত্রিক তলে বেসিস ভেক্টরগুলোর মান হবে-

e^x=[100]e^y=[010]e^z=[001]\begin{align} \hat{e}_x &= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} & \hat{e}_y &= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} & \hat{e}_z &= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \end{align}

এবং আগের মতই একটু ত্রিকোণমিতির সাহায্য নিয়ে v⃗\vec{v} ভেক্টরের মান বের করতে পারো এভাবে-

∣v⃗∣=∣v⃗x∣2+∣v⃗y∣2+∣v⃗z∣2\begin{align} |\vec{v}|=\sqrt{|\vec{v}_x|^2+|\vec{v}_y|^2+|\vec{v}_z|^2} \end{align}

ধরো উপাংশ তিনটি x,yx, y ও zz কো-অর্ডিনেটের সাথে যথাক্রমে θx,θy\theta_x, \theta_y ও θz\theta_z কোন উৎপন্ন করে। তাহলে ত্রিকোণমিতির সূত্র থেকে পাবে-

cos⁡θx=∣v⃗x∣∣v∣cos⁡θy=∣v⃗y∣∣v∣cos⁡θz=∣v⃗z∣∣v∣\begin{align} \cos\theta_x&=\dfrac{|\vec{v}_x|}{|v|}\\ \cos\theta_y&=\dfrac{|\vec{v}_y|}{|v|}\\ \cos\theta_z&=\dfrac{|\vec{v}_z|}{|v|} \end{align}

সমীকরণ (১৪)- (১৭) ব্যবহার করে ভেক্টরের উপাংশ তিনটি অক্ষের সাথে কী কী কোণ তৈরি করেছে সেটা হিসাব করতে পারবে-

θx=cos⁡−1∣v⃗x∣∣v⃗x∣2+∣v⃗y∣2+∣v⃗z∣2θy=cos⁡−1∣v⃗y∣∣v⃗x∣2+∣v⃗y∣2+∣v⃗z∣2θz=cos⁡−1∣v⃗z∣∣v⃗x∣2+∣v⃗y∣2+∣v⃗z∣2\begin{align} \theta_x&=\cos^{-1}\dfrac{|\vec{v}_x|}{\sqrt{|\vec{v}_x|^2+|\vec{v}_y|^2+|\vec{v}_z|^2}}\\ \theta_y&=\cos^{-1}\dfrac{|\vec{v}_y|}{\sqrt{|\vec{v}_x|^2+|\vec{v}_y|^2+|\vec{v}_z|^2}}\\ \theta_z&=\cos^{-1}\dfrac{|\vec{v}_z|}{\sqrt{|\vec{v}_x|^2+|\vec{v}_y|^2+|\vec{v}_z|^2}} \end{align}

সুতরাং একটি ভেক্টররাশির উপাংশ জানা থাকলে এই সূত্রগুলির মাধ্যমে ভেক্টরটির মান এবং দিক নির্ণয় করতে পারবে।

◄  ভেক্টরস্পেসের ধারণাভেক্টর রাশির যোগ ও বিয়োগ  ►